π

Het is vandaag 14 maart. Dat schrijf je als 14-3 en daarmee is dus niets aan de hand, al zou het een leuke voetbaluitslag zijn, maar in Amerika noteren ze dat als 3-14 en dat lijkt wel een beetje op het getal pi ofwel π ofwel 3,14159 gevolgd door een oneindige reeks decimalen ofwel het getal dat de verhouding aangeeft tussen de omtrek en de doorsnede van een cirkel. Omdat de datum wel een beetje lijkt op dat getal, wordt 14 maart weleens pi-dag genoemd. Als π een waarde had van 4, z□u deze zin er z□ uitzien en met een waarde van 3 k⬡n u z⬡iets verwachten.

Het teken π staat voor het Griekse περιφέρεια, “periferie”, wat zoiets betekent als omtrek, en daarmee zijn we bij de Oudheid, waarin ook is nagedacht over dit getal. De Bijbel bevat bijvoorbeeld een beroemde passage waarin iets staat dat, als je het letterlijk neemt, wiskundig niet kan. In een evocatie van de glorie van de tempel van Salomo beschrijft de auteur van het Deuteronomistische Geschiedwerk, nadat hij de zuilen Jachin en Boaz heeft vermeld, de Bronzen Zee, een groot waterbekken op de voorhof voor de tempel.

Verder goot Salomo de Zee, tien el in doorsnee, helemaal rond, en vijf el hoog; men kon haar met een koord van dertig el omspannen. (1 Koningen 7.23)

Een haarklover zal zeggen dat daar eenendertig el en bijna een palm had behoren te staan, maar u zult begrijpen dat we hier niet hebben te maken met een exacte beschrijving. Driehonderd jaar na de auteur van het Deuteronomistische Geschiedwerk herkende de auteur van Kronieken er geen probleem in en vele eeuwen later schreef Maimonides dat degene die de tempel van Salomo had beschreven, een rond getal had genoteerd omdat π nou eenmaal niet precies viel te berekenen. Dat had Maimonides nog niet zo gek gezien, want π is inderdaad een irrationaal getal.

Ik schreef net dat bij π=4 een zin er z□ uit z□u zien en dat je iets als dit m⬡cht verwachten als π=3. Daarmee kun je aanschouwelijk maken dat π, als de doorsnede 1 is, tussen de drie en vier moet liggen. Dit is het principe dat de Griekse wetenschapper Archimedes gebruikte om π te benaderen.

Hij begon met een vierhoek in een cirkel (“een ingeschreven vierhoek”) en een vierhoek om de cirkel (“een omgeschreven vierhoek”). De omtrek van de binnenste vierhoek was een bepaald getal, de omtrek van de buitenste vierhoek was een ander getal, de doorsnede was ook bekend. Archimedes stelde die doorsnede op één en redeneerde dat π moest liggen tussen die twee getallen. Hij mat daarna aan zeshoeken, twaalfhoeken, vierentwintighoeken, achtenveertighoeken en uiteindelijk zesennegentighoeken. Aan de hand van die laatste concludeerde Archimedes dat π groter moest zijn dan 223/71 en kleiner dan 22/7.

Anders gezegd: π moest ergens liggen tussen 3,1408… en 3,1429… Dat was zeker geen slechte benadering van de 3,14159… waar het feitelijk om gaat. En u ziet en passant het voordeel van de decimale notatie, die we hebben te danken aan Simon Stevin.

18 gedachtes over “π

  1. Jeroen

    En het wordt gebruikt om de hoeveelheid priemgetallen kleiner dan een bepaald getal (x) aan te duiden… maar die functie kreeg het pas ver na Archimedes…

  2. Truus Pinkster

    Dag Jona Lendering,

    Liever even zo dan via de commentaarrubriek. Vind ik niet altijd prettig.

    Onlangs las ik het nieuwste boek van Rens Bod, Een wereld vol patronen. Hoe wetenschap is ontstaan. Ik lees niet altijd al je blogs, daarom de vraag: heb je al aandacht besteed aan dit opwindende boek (net als zijn vorige De vergeten wetenschappen) dat zo past in de manier waarop jij de wetenschap beoefent ?

    Truus Pinkster Neerlandica en klaveciniste

    >

  3. G. Havingha

    “de verhouding aangeeft tussen de omtrek en de doorsnede van een cirkel”
    Dat is niet juist:
    Het is de verhouding tussen de omtrek en de 2x de *straal* (of 1x de diameter) van een cirkel.
    Doorsnede is een oppervlaktegrootheid en wordt (o.a.) weergegeven in vierkante (centi)meters.

    1. FrankB

      Ja, hij bedoelt diameter. Beide woorden beginnen met een d, vandaar de tamelijk gebruikelijke verwarring.

      1. G. Havingha

        Helaas idd gebruikelijk.

        Voor de goede orde:

        Hoe bereken je de oppervlakte (=doorsnede) van een cirkel?
        1. straal x straal x π of.
        2. straal2 x π of.
        3. diameter2 x π / 4

            1. G. Havingha

              Haha, het was geen kwisje hoor, maar inderdaad 3 manieren die op-het-zelfde neerkomen.
              (gekopieerd van de 1ste-de-beste website)

              Goede tip, bedankt, ik had helaas alleen al op enter gedrukt…

  4. FrankB

    “waarin iets staat dat, als je het letterlijk neemt, wiskundig niet kan”
    Het is altijd amusant om dit voor te houden aan Jonge Aarde Creationisten – die plotseling uitgebreid aan het interpreteren slaan.

    “u zult begrijpen dat we hier niet hebben te maken met een exacte beschrijving.”
    Ikke wel. JECers alleen als het hen uitkomt. Helaas Nieuwe Atheïsten ook.

    “die we hebben te danken aan Simon Stevin.”
    Niet zo chauvinistisch. Het stamt uit wat jij de Oudheid pleegt te noemen.

    https://en.wikipedia.org/wiki/Bakhshali_manuscript

    De ontwikkeling van de bekende symbolen 0 tm 9 schijnt geleidelijk te zijn gegaan.
    De eerste Europeaan die een decimaal stelsel gebruikte was Fibonacci, vroeg in de 13e eeuw; de Arabieren waren hem minstens 200 jaar voor.
    Stevin heeft wel een rol gespeeld bij de ontwikkeling tot het stelsel zoals wij dat nu gebruiken (mbt decimale breuken), maar ook zijn notatie is nog niet de onze.

    https://en.wikipedia.org/wiki/Simon_Stevin#Decimal_fractions

    https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Stevin-decimal_notation.svg

    Bij mijn zoektochtje naar deze geschiedenis kwam ik een aardig weetje tegen. Die ouwe Archimedes had al een tientallig stelsel ontwikkeld. Wikipedia verwijst naar Karl Menninger, Zahlwort und Ziffer, Eine Kulturgeschichte der Zahl uit 1979.

    https://en.wikipedia.org/wiki/Positional_notation

    “the German mathematician Carl Friedrich Gauss [lamented] what heights science would have already reached in his days if Archimedes had fully realized the potential of his ingenious discovery.”
    Archimedes was zo geniaal dat hij zijn eigen genialiteit af en toe niet volledig besefte.

  5. Die Archimedes deed het zo gek nog niet. Ik kwam een tiental jaar geleden in een bouwkundig formuleboekje nog een formule tegen voor de omtrek van een ellips (of ovaal, zeg maar een symmetrische ei-vorm) met aslengtes a en b. Die zou pi*(a+b) zijn met, zo stond er behulpzaam bij, pi ongeveer 3. Als wiskundige hebben ze me toen moeten van de vloer moeten oprapen omdat ik niet meer bijkwam van het lachen.

    (En voor de geïnteresseerden, er is geen gemakkelijke formule voor de omtrek van een ellips, daar zijn zogenaamde elliptische integralen voor uitgevonden. De oppervlakte is dan gek genoeg wel weer pi*a*b).

    1. jan kroeze

      Ik heb de indruk dat ze in de bouw vaak met schattingen werken. Vandaar misschien dat m’n muren nooit goed recht zijn ?

  6. FrankB

    Bijna vergeten: de Babyloniërs waren ook geen domme jongens en hadden al een paar eeuwen voor Archimedes al begrip van pi. De volgende link past naadloos in JL’s serie van museumstukken:

    https://numberwarrior.wordpress.com/2008/12/03/on-the-ancient-babylonian-value-for-pi/

    We zien hier de helft van Archimedes’ methode om de waarde van pi te benaderen; alleen de omgeschreven cirkel. Dat is tamelijk typerend voor de Griekse wiskunde en natuurfilosofie. Die kwamen niet uit het niets, maar ontwikkelden zich op ongekende wijze.

Reacties zijn gesloten.