Als het kapitaal dat in de constructie van monumentale gebouwen werd geïnvesteerd een aanwijzing is voor de materiële welvaart van Athene, dan was de bloei van Athene na de Peloponnesische Oorlog voorbij. De democratie bleef echter bestaan en floreerde. We beschikken over meer teksten uit de vierde dan uit de vijfde eeuw. Ook de teksten van de tegenstanders van de democratie zijn bewaard, zoals de dialogen van de filosoof Plato.
Deze zag liever dat de staat werd bestuurd door filosofen, mensen die met goed nadenken de waarheid konden opsporen en zich niet lieten afleiden door onlogische argumenten. Wie wilde studeren aan zijn school, de Akademie, moest wel eerst bewezen hebben in staat te zijn tot nadenken, en wat lag meer voor de hand dan van de studenten te verwachten dat ze genoeg wiskunde in huis hadden? Er zou zelfs een bord met de woorden “verboden voor niet-wiskundigen” boven de ingang van de Akademie hebben gehangen.
Helaas is verre van zeker of dit een historisch feit is. Het wordt slechts vermeld in de Chiliaden van de Byzantijnse dichter Tzetzes (twaalfde eeuw). Dat is eigenlijk te laat om nog overtuigend te kunnen zijn, al had Tzetzes toegang tot bronnen die sindsdien verloren zijn gegaan. Van de andere kant, Plato lijkt het in de dialoog Theaitetos iets bijzonders te vinden dat √3 en √5 incommensurabel zijn met de natuurlijke getallen: dat suggereert niet dat hij veel verder is gekomen dan het niveau van de onderbouw van onze middelbare scholen, wat de vraag oproept hoe ver Plato’s liefde voor de wiskunde nu werkelijk ging.
“….. de staat werd bestuurd door filosofen …..”
Begrijpelijk, als we horen welke onzin af en toe in de Tweede Kamer verkondigd wordt. Probleem is alleen dat die nogal eens verkondigd wordt door lieden die Plato wellicht als filosoof zou hebben beschouwd.
“verboden voor niet-wiskundigen”
Dit is nieuw voor mij. Ken je iemand die verkondigd heeft dat Plato dit bordje ophing?
“veel verder is gekomen dan het niveau van de onderbouw van onze middelbare scholen”
Dit is niet erg eerlijk. De Wet van Archimedes is van hetzelfde niveau en nog in de Tiende Eeuw waren er geschoolde mensen in West-Europa die dit niet haalden. Euclides’ Elementen werd aan de andere kant van de Noordzee nog niet zo lang geleden als leerboek gebruikt – in de onderbouw van middelbare scholen.
Het is inderdaad bijzonder dat er “getallen” zijn die niet rationeel zijn, maar irrationeel, dus die niet als een verhouding tussen twee gehele getallen geschreven kunnen worden. Dat is al het geval bij sqrt(2), de lengte van de diagonaal van een vierkant met zijde lengte 1. Die schokkende ontdekking wordt aan de Pythagoreers toegeschreven. Er zijn moderne wiskundigen die menen dat niet logisch bewezen is dat sqrt(2) een getal is; je kunt wel “irrationeel” zeggen maar dat bewijst niets.
“Bewijs” is een nogal onzinnige vereiste als de conclusie vooral afhangt van de definitie (van getal). Zolang die aan alle vereisten voldoet veranderen de conclusies hoegenaamd niet – pi bliijft de verhouding van middellijn en omtrek aangeven en wortel twee in het kwadraat blijft gelijk aan twee, welke naam we de beestjes ook geven. Binnen deze grenzen blijft de vraag of wortel twee een getal is inderdaad niets meer dan een kwestie van mening. Dat is in de wiskunde nauwelijks interessant, itt de vraag naar de juiste interpretatie van de quantummechanica, bv.
Ja ok, dat gaat over mathematische logica. Toen Cantor eind 19e eeuw beweerde dat er verschillende oneindigheden bestaan dacht zijn omgeving dat hij gek was geworden. Maar tegenwoordig schrikken wij nergens meer van. Bv de verzameling rationele getallen is “overaftelbaar”, je kunt ze niet in een aftelbare oneindige rij zetten.
Nope, de rationele getallen zijn “nog net” aftelbaar. De irrationele daarentegen…
Yes
Voor de liefhebber:
https://www.youtube.com/watch?v=REeaT2mWj6Y&t=868s
“Inconvenient truths about sqrt(2) | Real numbers and limits”
Bedankt – nu is mijn achterstand van dingen die ik wil zien (en wil lezen) nog weer een beetje groter geworden. In dit opzicht heb ik een tweede lockdown nodig.
“Het wordt slechts vermeld in de Chiliaden van de Byzantijnse dichter Tzetzes (twaalfde eeuw)”
In de twee regels die volgen op het citaat geeft Tzetzes een interpretatie van het citaat:
τουτέϲτιν, ἄδικοϲ μηδεὶϲ παρειϲερχέϲθω τῇδε·
Ἰϲότηϲ γὰρ καὶ δὶκαιόν ἐϲτι γεωμετρία
(tekst uit de editie uit 1826 op Google Books)
“Dat wil zeggen, laat geen enkel onrechtvaardig man hierdoor naar binnen gaan;
want geometrie is gelijkmatigheid en evenwichtigheid”
Het zijn twee lastig te vertalen termen. Als iemand een betere weergave heeft, dan graag.
Wat de waarde van deze interpretatie is, is moeilijk te zeggen, maar het kan dus een figuurlijke betekenis hebben. Het zegt niets over de historiciteit van het bordje.
Aanvulling: het opschrift boven de deur wordt ook al vermeld in het commentaar van Elias op de Categorieën van Aristoteles (eind 6e eeuw) (CAG XVIII, 1, ed. Busse, p. 118.18 en 119.4).
Het is wel een heel mooie interpretatie. Geometrie en wiskunde in het algemeen gaan over de Waarheid, en alleen een rechtvaardig man respecteert de Waarheid.
Ik hoor dat de toeschrijving zelfs in de vierde eeuw n.Chr.
https://www.persee.fr/doc/reg_0035-2039_1968_num_81_384_1013,
In elk geval – en dat is de crux – het is een fictieve anekdote, die niet kan worden overgenomen.
Leerzame link! 🙂
De vraag wat gevallen nu precies zijn built men zich nog steeds over. Als je kijkt naar Euclides en ontwikkeling wiskunde daarna dan is Platos opmerking heel legitiem. Veel middelbare schoolwiskunde is in 16e-18e eeuw ontwikkeld. Anders dan ik gewend ben van je blogs vind ik je conclusie over Platos kennis van wiskunde daarom nogal onterecht.
@ Jona
¨wat de vraag oproept hoe ver Plato’s liefde voor de wiskunde nu werkelijk ging.¨
Welke onzekerheid er ook mogen bestaan omtrent de liefde van meneer Plato voor wiskunde, of over zijn inzicht in wiskunde, over twee hardnekkige karaktertrekken van meneer Plato bestaat geen onzekerheid.
* zijn vooringenomen, verbijsterend domme en sexistische praatjes over vrouwen,
* zijn autoritair gehandhaafde voorliefde voor scheve maatschappelijke verhoudingen.
En het met (vooral..) man en macht overeind houden van deze praatjes, arrogant autoritaire meninkjes en ¨rapports de force¨.
Plato lijkt wel de oer-opa van meneer Fortuyn incestueus getrouwd met meneer Baudet.
http://adorans.org/?article=plato-and-the-negation-of-women
https://year40philosophy.wordpress.com/2014/04/29/plato-on-justice-and-slavery/
In hedendaagse termen: wat een naar, oervervelend en vooral hinderlijk mannetje.
En wat een bevrijding is het om omtrent het veel meer uitgebreide waarheidsbegrip in aanwending van wiskunde te lezen bij Dirk Struik, Jan Burgers en Jan Tinbergen.
https://core.ac.uk/download/pdf/82013307.pdf
🙂
JL
“* zijn vooringenomen, verbijsterend domme en sexistische praatjes over vrouwen,
* zijn autoritair gehandhaafde voorliefde voor scheve maatschappelijke verhoudingen.”
En zou hij daarmee zijn opgevallen tussen de andere Atheners? Of in Rome? Of in Perzië?
@ Dirk.
Dat weet ik niet, ik ben geen oudheidkundige, Jona en anderen zullen uw drie vragen vermoedelijk snel kunnen beantwoorden.
Dat roept tegelijkertijd de vraag op of er ¨dissidenten¨ (m/v) waren in of rond de tijd dat P leefde.
Of dat er, toen, voorbeelden van ¨palenques¨ waren, die in Latijns Amerika, en zeer zeker hier in Colombia, opvallend snel opkwamen na de introductie van slaven- en slavinnen van Afrikaanse oorsprong.
Met een opmerkelijke (historische) continuïteit…
@ Dirk
Uw vraag naar ¨opvallendheid¨ en dus implicitet ¨tegen-cultuur¨ liet me niet los.
Hoewel ik me zeer bewust ben van de gevaren van gezoek via google zonder grondige kennis van een sector of een thema (nogmaals, ik bewonder en respecteer Jona zeer en begrijp oprecht niet waarom hij niet voor een PhD gaat..) leverde even zoeken (en dat heb ik getracht kritisch te doen, i.e. met een simultaan onderzoekje naar mogelijke kritische kanttekeningen, v.v. tussen Jona en gevonden bronnen/auteurs) toch een indrukwekkende hoeveelheid publicaties op die zowel uw (Dirk) vraag beantwoorden als mijn nieuwsgierigheid belonen en alleen maar groter maken.
* Revolt/rebellion was wel degelijk een bekend fenomeen: meneer Plato himself (en anderen) formuleert een hele set voorschriften om slaven en andere door hem als minderwaardigen betitelden, eronder te houden.
* Vrouwen en meisjes (even voor de orde van grootte: toch zo’n 50 % van de mensheid uitmakend..) speelden wel degelijk cruciale rollen, en ook opstandige rollen.
Mij ¨ergert¨ al vele jaren het geschrijf over de oudheid in termen van weelderige paleizen en kastelen, stoere meneren, bloederige oorlogen, en, uiteindelijk, als imponerend bedoelde grafmonumenten.
Zou het niet op zijn minst van wat meer evenwicht (zeker numeriek qua aantallen mensen betreft) in de benaderingen getuigen als op zijn minst ook de levens en het lief en leed van ¨gewone¨ mensen in de oudheid aan de orde zou komen?
Een soort ¨sociologie van het dagelijkse leven in de oudheid¨ zonder al dat gedweep met leiders en met rambo’s?
Wat vindt u daarvan Dirk?
https://www.ancient.eu/article/737/ten-noble-and-notorious-women-of-ancient-greece/
http://www.bbc.co.uk/history/ancient/romans/slavery_01.shtml#:~:text=Top-,Slave%20rebellions,one%20point%20threatened%20Rome%20itself.
Hartelijke groet,
JL
Burgers en Tinbergen leefden in een tijd dat het socialisme nog serieus werd genomen. Wat wiskunde met socialisme te maken heeft is mij een raadsel. Het valt mij tegenwoordig op dat feiten en statistiek niet meer relevant worden gevonden.
Wat een mooie en leerzame link weer! (Die laatste, met Struik, Tinbergen en anderen.) Het kan vandaag niet stuk …
ik had wel eens van dat bordje gehoord; het is maar goed dat deze blog bestaat!
@ Martin & Willem Vermeer & Jona
Vervaardiging en aanwending van wiskundige modellen kan helpen maar ook tot (gruwelijke) ontsporingen leiden.
Keynes was daarover glashelder, en, bijna plagend, legde soms wel eens een vraag voor aan Tinbergen, maar altijd met een licht malicieus glimlachje om de lippen.. verradend dat hij de uitkomst van Tinbergen’s zwoegen al wel voorzag, maar dat het geen kwaad kon de integere en sobere Jan om advies te vragen.
Zie bijvoorbeeld de volgende link, en let s.v.p. ook op de commentaren op de geciteerde uitspraak van Keynes: https://rwer.wordpress.com/2014/07/07/keynes-on-the-use-of-mathematics-in-economics/
Over ontsporingen bij aanwending van wiskundige modellen hoeven we dezer dagen alleen maar om ons heen te kijken.
De ontzetting bij Giesecke en zijn leerling en opvolger Tegnell in Stockholm over het schaamteloos liegen en bedriegen met wiskundige modellen in Londen bijvoorbeeld, of, bij het wereldmodel over de crisis, het ongegeneerd vergelijken van appels en peren en daar dan pontificaal, brullend conclusies aan verbinden, vooral bij als Rambo’s te keer gaande politici, doet je verstijven van angst over wat ons nog meer te wachten staat de komende tijden en bij andere onderwerpen.
Het simpele A4-tje met cijfers en de som: meer dan 11 miljoen, dat de Wannsee Konferenz produceerde, is een daarbij een historisch feitelijk, gruwelijk voorbeeld van criminele aanwending van wiskunde die alleen maar tot dood en verderf en tot in lengte van tijden voortdurend leed leidde, leidt en zal leiden. Lees de verslagen van Jona Lendering over Libanon en omstreken.
Jona veel dank voor zijn verwijzing naar de prachtige Franse studie die hij citeert.
(https://www.persee.fr/doc/reg_0035-2039_1968_num_81_384_1013, ).
Ergo: Caute!
Even voor de duidelijkheid: in mijn vak (de taalkunde) ben ik al meer dan een halve eeuw getuige van allerlei gedoe met wiskundige of pseudowiskundige modellen waar de dingen zelden veel beter van worden en soms slechter.
De reden dat ik gelukkig was met die link is de blik die het bood op een stukje vooroorlogse Nederlandse geschiedenis waarvan ik nooit iets had bevroed.
@ Willem Vermeer.
Ja, die periode is fascinerend. En heeft uiteindelijk (via Hans Kramers..) tot Nico Bloembergen en geleid en ergo delen van de techniek die u en mij via dit medium zo snel verbinden.
Maar het OVERSCHATTEN van de betekenis van wiskundige modellering in armoede bestrijding was een aspect dat Jan T onvoldoende (en te laat…) doorzag.
Beide Myrdals (en let svp even niet op de hevige kritiek van hun zoon Jan) brachten meer evenwicht in de aanpak van armoede, maar immer, tot de dag van vandaag, onvoldoende. Daarvoor is een retour naar de Keynes – White confrontatie van 1944 – 1946 nodig. Keynes verloor en White won. Met de bekende termen: USD dominantie met beperkte aanpak via beperkte middelen (Wereld Bank en IMF). Waar Keynes de bancor en de ICU voorstelde.
Zie ook dr. Zou Xiaochouan voor de BIS, Basel, 23 maart 2009, dus midden in de vorige crisis.
https://www.bis.org/review/r090402c.pdf
De afbraak van de US dominantie gaat nu versneld door, en de oproep van (ex) governor dr. Zhou Xiaochouan wordt steeds belangrijker.
Jan Tinbergen en Hans Kramers en Paul Ehrenfest zouden de eersten geweest zijn hun steun te betuigen aan deze oproep tot staking van verdere afbraak van discriminatie, uitsluiting, verarming en ergo de weg tot de dood en de toegang naar welzijn voor allen zonder onderscheid.
Kinderen van één Vader.
(van twee supervrouwen:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Jacoba_Mossel en https://en.wikipedia.org/wiki/Catharina_van_Rennes)
Dát is de betekenis van de Leidse connectie van de jaren 1920 – 1930 – 1940 voor het titanen gevecht waaraan John Maynard Keynes bezweek op 21 april 1946.
https://read.dukeupress.edu/hope/article-abstract/25/suppl_1/131/129493/Paul-Ehrenfest-and-Jan-Tinbergen-A-Case-of-Limited
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kramers/
https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1981/bloembergen/biographical/
De eerste vraag bij een wiskundig model is: hoe goed beschrijft het de data? In economische modellen heb ik niet zo veel vertrouwen. De verleiding is natuurlijk groot om de economie nauwkeurig te kunnen modelleren en dus ook de economische ontwikkelingen te kunnen voorspellen, om zo politieke invloed te kunnen krijgen. Bv dat het minimumloon omhoog moet of juist omlaag, etc. Keynes zegt dat de vooronderstellingen aan het begin expliciet worden gemaakt, en hij had gelijk. Ik las in the Economist dat economen gebruikelijk een model aanhangen dat met hun politieke voorkeur overeen komt. Wat dat nog met wetenschap te maken heeft? Ik heb een broer die drs economie is. Hij dacht de beurskoersen te kunnen voorspellen juist omdat hij te weinig van wiskunde snapt. Hij zou met een flinke investering op de beurs heel rijk worden. Hij woont nu in een opvang voor verslaafden. Hij heeft ook verschillende keren geprobeerd om mij van de waarde van astrologie te overtuigen.
@ Martin
Het spijt me dat ik u terug gevoerd heb naar zulke verdrietige ervaringen.
Zie svp mijn vorige reactie aan de heer Vermeer om u te laten zien dat er andere manieren van denken mogelijk zijn, en ook perspectief om het voor iedereen wereldwijd beter te maken op deze aardbol.
Hartelijke groet,
JL
No worries, maar merci.
Ik bedoelde alleen te illustreren dat het beoordelen van hoe goed een model is toch wel een serieuze zaak is.
@ Martin. U heeft gelijk, waren er meer lieden zo zorgvuldig en prudent als u dat bent.
B.a.V.
JL