Ik blogde afgelopen donderdag over het hellenisme en FrankB stelde de vraag waarom de hellenistische geleerden nauwelijks of geen vooruitgang boekten in de wis- en natuurkunde. Die vraag is weleens eerder gesteld geweest. Om precies te zijn een kleine eeuw geleden. Eerst was er de ontdekking geweest van de Archimedespalimpsest. Daarna waren kleitabletten gepubliceerd die toonden dat de Grieken schatplichtig waren aan de Babyloniërs. Allemaal nieuwe informatie, die leidde tot de constatering dat de creatieve periode van de Griekse wiskunde rond 300 v.Chr. voorbij was.

Dijksterhuis versus Spengler

Een van degenen die dit constateerde, was Oswald Spengler in zijn in 1918 verschenen Der Untergang des Abendlandes. Hij meende dat elke beschaving een ontwikkeling kende van groei, bloei en verval. Aangezien de Griekse wiskunde zijns inziens niet van buitenaf was beïnvloed, viel alleen maar te verwachten dat ze ooit aan creativiteit zou inboeten.

Niet iedereen deelde Spenglers visie op de oorzaak van de impasse in de Griekse wiskunde. Hij kreeg bijvoorbeeld enkele keren repliek van E.J. Dijksterhuis, die later De mechanisering van het wereldbeeld zou schrijven. Eén zo’n artikel heet “De grenzen der Griekse wiskunde” en verscheen in 1933 in De Gids. Hierin wijst hij op de grondslagencrisis die zich in de vierde eeuw v.Chr. in de Griekse wiskunde had voltrokken. Eén aanleiding was de ontdekking van de irrationale getallen. Een bekend voorbeeld is te vinden in Plato’s dialoog Theaitetos, waarin de irrationaliteit van √3 en √5 aan de orde komt. De Grieken ervoeren het als verontrustend dat die niet waren weer te geven als breuken van gehele getallen. Een tweede aanleiding lag in de paradoxen van Zenon (zoals die over Achilleus en de Schildpad). De Grieken konden niet omgaan met wat we nu een limiet zouden noemen.

De Griekse wiskundigen kwamen met de getaltheorie niet verder en concentreerden zich daarna vooral op de meetkunde, met Eukleides’ Elementen als bekendste voorbeeld. Ze pakten problemen die wij nu als rekenkunde zouden beschouwen, aan alsof het meetkundige problemen waren. De optelsom van twee kwadraten a en b zou dus de oppervlakte zijn van een vierkant met lengte en breedte a plus de oppervlakte van een vierkant met lengte en breedte b. Nogal complex.

Toen wiskundigen in de Nieuwe Tijd de algebra ontwikkelden, bleek het allemaal veel simpeler te kunnen. Er was niets in de moderne wiskunde – althans volgens Dijksterhuis – dat de Grieken niet hadden voorbereid en de eigenlijke vraag is zijns inziens dan ook waarom zij de algebra niet hebben ontwikkeld. Vakinhoudelijk waren ze er klaar voor.

Cijfers en letters

Het eigenlijke probleem was, heel verrassend, dat de Grieken getallen noteerden met letters. Het cijfer één noteerden ze als alfa, het cijfer twee als bèta. Maar wie algebra wil bedrijven, heeft behalve cijfers ook letters nodig om variabelen te noteren. En zo’n tweede systeem was er niet. Een Griek zou α+β nooit anders hebben gelezen dan 1+2, en kon de mentale stap niet zetten om ze op te vatten als variabelen.

Als men echter de letters al gebruikt heeft om bepaalde getallen te schrijven, kan men er niet nogmaals een beroep op doen om de onbepaalde getallen voor te stellen die de algebra nodig heeft.

Er was dus een praktisch bezwaar dat verhinderde dat de Grieken voorbij de grondslagencrisis kwamen. Irrationale getallen en limieten, tegenwoordig middelbare-schoolstof, bleven daardoor buiten bereik. De wiskunde kon zich eeuwenlang niet verder ontwikkelen. Althans volgens Dijksterhuis.

Hij attendeert ook op een andere factor: dat maar weinig mensen zich er echt mee bezighielden. Het was een voorindustriële samenleving waarin weinig ruimte was voor onderwijs, laat staan wetenschappelijk onderzoek. Ook een moderne auteur als Victor Katz noemt deze factor in zijn History of Mathematics (1993).

Doorgeven van inzicht

Met het bovenstaande zet ik het overigens allemaal wat scherp aan. Het is niet zo dat er in de hellenistische en Romeinse tijd helemaal niets is veranderd. De publicatie van mathematische papyri heeft de zaken wel wat genuanceerd. De geschiedenis van de wiskunde is er vooral een van het doorgeven van inzicht: van Babylonië dus naar Griekenland, waar op een periode van veel creativiteit een langere periode volgde van wat minder creativiteit. De vaart kwam er pas weer in met de invoering van het decimale stelsel.

De nul was (als plaatsnotering) al in de tweede eeuw v.Chr. geïntroduceerd in Babylonië, maar die innovatie bereikte de Griekse wereld niet. Ze bereikte wel India, waar men nieuwe cijfers ontwikkelde die zich weer verspreidden naar het Kalifaat. Uiteindelijk waren het geleerden als Gerbert van Aurillac en Fibonacci die de Arabische cijfers in het westen introduceerden. Toen ook tekens als plus, min, maal en gedeeld er eenmaal waren, stond niets de geboorte van de westerse wiskunde nog in de weg. K.P. Hart attendeert me er overigens op dat het ook toen nog niet zo makkelijk was: de notatie bleef lang behoorlijk krukkig. Ook nadat Descartes ons x, y, en z (voor variabelen), en a, b, en c (voor constanten) had gegeven, duurde het nog even voordat we machten met superscripts gingen schrijven.

Babylon, Griekenland, India, Arabië, het Westen: een kwestie van het doorgeven van kennis. Je vraagt je weleens af wat er zou zijn gebeurd als keizer Trajanus bij zijn bezoek aan Babylon belangstelling had gehad voor de toenmalige wetenschap. Dan hadden de Romeinen de algebra kunnen uitvinden, hadden we zo rond 900 de eerste maanlandingen kunnen meemaken en had u dit stukje op Callisto kunnen lezen bij het zachte Jupiterlicht.

Deze blog is gratis, maar als u me wil steunen, koop dan een van mijn boeken, doe via Livius.nl een cursus of reis (bijvoorbeeld Cyprus), of doneer. U kunt de blog volgen via het Whatsapp-kanaal.